| : grid grid in in Αγαπητά παιδιά! Γεια σας! Στο σημερινό μάθημα θα μιλήσουμε για την κάθετη διαίρεση και συγκεκριμένα για την ευκλę να διαίρεση. Ο στόχος του σημερινού μαθήματος είναι να μάθετε να εκτελείτε διαιρέσεις κάθετα, είτε είναι μονοψήφιοι είτε είναι πολυψήφιοι αριθμοί, άρα ο στόχος του μαθήματος είναι να μπορείτε στο τέλος του μαθήματος να κάνετε με ευχέρια όλες αυτές τις πράξεις. Τα υλικά που θα χρειαστούμε για το σημερινό μάθημα είναι μία τράπουλα και ένα τετράδιο με τετραγωνισμένο χαρτί. Ο στόχος μας λοιπόν είναι να βοηθήσουμε την Ιακύνθη και τον Αχηλέα, τους δύο πρωταγωνιστές μας, να μάθουν να κάνουνε ευκλήδια κάθετη διέρεση. Να δούμε όμως πρώτα κάποια από τα απαιτούμενα. Θέλω Ιακύνθη να μου πεις πόσο κάνει 12 για 3. Πόσο κάνει 4. Ωραία. Αλλά όπως είσαι Ιακύνη δεν με διαφέρει μόνο η τελική απάντηση, αλλά και πώς σκέφτηκες για να βρεις την απάντηση 4. Σκέφτηκα στο μυαλό μου ότι τρεις φορές το 4 κάνει 12. Άρα αφού στην ερώτηση υπήρχε το 12, υπήρχε το 3, άρα η τελική απάντηση είναι το 4. Πολύ ωραία. Τώρα θέλω να μου πεις πόσο κάνει 3 δια 12. 3 δια 12, για να σκεφτώ πάλι, 4. Και πώς το βρήκες το 4. Θα σας πω. Σκέφτηκα πάλι 3, 4, 12. Άρα αφού υπάρχει το 3, υπάρχει και το 12, άρα τελικά πάλι η απάντηση είναι 4. Γι' αυτό το λόγο είπα 4. Πολύ ωραία. Να σε ρωτήσω κάτι. Η προηγούμενη ερώτηση ήταν 12 δια 3 και κάνει 4. Ενώ στο 3 δια 12 μου είπες ότι πάλι κάνει 4. Τι πιστεύεις, γιατί είναι λάθος? Μάλλον είναι λάθος. Μήπως έχεις συμπερδευτεί με τους αντίστοιχους πολλαπλασιασμούς? Επειδή 3 φορές το 4 κάνει 12. Και 4 φορές το 3 μας κάνει 12. Υσχύει όμως το ίδιο για τη διαίρεση? Μάλλον όχι. Πάμε να σου κάνω άλλη μια ερώτηση και θα τα ξεκαθαρίσουμε όλα αυτά. Τώρα θέλω να μου πεις πόσο κάνει 11 δια 3. Μα δεν γίνεται. Γιατί δεν γίνεται το 11 δια 3? Γιατί σκέφτομαι ότι την προπαίδεια του 3 δεν βρίσκω κανένα 11. Άρα μάλλον δεν γίνεται. Ωραία. Πάμε λοιπόν να σου δείξω ένα παιχνίδι με τα τραπουλόχαρτα για να ξεκαθαρίσουμε όλα αυτά τα θέματα με τις διαίρεσεις και μετά να πάμε στην κάθε διαδικασία. Όταν έχεις λοιπόν για παράδειγμα να κάνεις τη διαίρεση 12 δια 3, αρχίζει σε πρώτη φάση είναι καλό να χρησιμοποιούμε τη λέξη διά η οποία δεν δίνει και πολύ μεγάλο νόημα στην διαίρεση. Θα χρησιμοποιήσουμε τη λέξη χωράει. Άρα λοιπόν στο πρώτο παράδειγμα θέλω να μου πεις πόσα 3 άρια χωράνε στο 12. Αυτό που έχει σημασία στη διαίρεση είναι ότι οπτικοποιούμε, αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε ένα υλικό, μόνο το διαιρετέο, μόνο το πρώτο αριθμό. Θα σου δείξω λοιπόν πώς γίνεται το 12 δια 3 χρησιμοποιώντας την τράπουλα. Θα πρέπει λοιπόν να πάρεις μία κλασική τράπουλα και να πάρεις 12 φύλλα. Οπότε μέτρα 12 φύλλα. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Άρα έχεις λοιπόν 12 φύλλα και το ερώτημα είναι πόσα 3 άρια μπορείς να φτιάξεις με το 12. Πόσες ομάδες των τριών δηλαδή μπορείς να φτιάξεις με το 12. Ξεκίνα λοιπόν να φτιάξεις ομάδες των τριών. 1, 2, 3. Πρώτη ομάδα. 1, 2, 3. Έφτιαξες δεύτερη ομάδα. 1, 2, 3. Τρίτη ομάδα. 1, 2, 3. Τέταρτη ομάδα. Έχεις φτιάξει λοιπόν όπως βλέπεις τέσσερις ομάδες. Γι' αυτό λοιπόν 12 δια 3 μας κάνει 4. Και είναι αυτό που μου είχες πει και στην αρχή. Πάμε τώρα στο επόμενο παράδειγμα. Πώς το κάνει 3 δια 12. Όπως σου είχα πει θα πρέπει να κυκλώνεις το πρώτο αριθμό δηλαδή το 3. Γιατί αυτό σου λέει πόσα φύλλα να πάρεις από την τράπουλα. Χρειάζεται λοιπόν μόνο 3 φύλλα. 1, 2, 3. Πολύ ωραία. Έχουμε λοιπόν 3 τραπουλόχαρτα και το ερώτημα είναι πόσες ομάδες των 12 μπορείς να φτιάξεις με αυτά τα 3 τραπουλόχαρτα. Η αλήθεια είναι ότι με 3 τραπουλόχαρτα δεν μπορείς να φτιάξεις καμία ομάδα των 12. Δεν μπορείς να φτιάξεις κανένα 12. Άρα λοιπόν η απάντηση είναι κανένα. Δεν μπορώ να φτιάξω κανένα 12. Άρα πρέπει να γράψεις το 0. Άρα 3 δια 12 μας κάνει 0. Και μας κάνει 0 υπό την έννοια ότι δεν μπορώ να φτιάξω κανένα ολόκληρο 12 με 3 τραπουλόχαρτα. Αργότερα που θα μιλήσουμε για τους δεκαδικούς αριθμούς θα δώσουμε μια πιο συγκεκριμένη απάντηση γι' αυτό. Και πάμε και στο τελευταίο παραδειγματάκι. Πόσο κάνει 11 δια 3 που σε ρώτησα και δυσκολεύτηκες. Κυκλώνουμε λοιπόν τον πρώτο αριθμό. Άρα πρέπει να πάρουμε 11 φύλλα. Παίρνω λοιπόν την τράπουλα και παίρνω 11 φύλλα. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Έχω λοιπόν 11 τραπουλόχαρτα και πρέπει να φτιάξουμε ομάδες των τριών. Ξεκινάω λοιπόν. 1, 2, 3, ένα τριάρι. 1, 2, 3, άλλο ένα τριάρι. 1, 2, 3, άλλο ένα τριάρι. 1, 2, οχ δεν έχω. Δεν μπορώ να φτιάξω άλλα τριάρια γιατί μου έχουν μείνει μόνο 2 τραπουλόχαρτα. Άρα ποια είναι η απάντηση ότι χωράνε 3 τριάρια και μου έχουν περισσέψει και 2 τραπουλόχαρτα. Αυτό λοιπόν μπορείς να γράψεις είναι ως απάντηση ότι έχω 3 και υπόλοιπο 2. Αν λοιπόν δεν βρίσκεις κάτι στην προπαίδεια είναι γιατί δεν χωράει ακριβώς. Αυτό λοιπόν που θέλω να σου μείνει από αυτό το παιχνίδι που κάναμε τα τραπουλόχαρτα, είναι να κυκλώνεις πάντα τον πρώτο αριθμό γιατί αυτό σου λέει πόσα τραπουλόχαρτα έχεις. Και να προχωράσεις μετά να κάνεις τη διαίρεση χρησιμοποιώντας τη λέξη χωράει. Για πάμε τώρα να δούμε πώς θα πηγαίνει μέχρι στιγμής και ο αχιλέας. Αν τα έχει καταλάβει όλα αυτά που έχουμε πει. Να δούμε αυτές τις δύο διαίρεσεις 28 δια 7. Μπορείς φυσικά αχιλέα να χρησιμοποιείς την προπαίδεια και είναι πολύ σημαντικό να χρησιμοποιούμε την προπαίδεια ως την αντίστροφη διαδικασία για να βρούμε τα αποτελέσματα της διαίρεσης. Αυτό όμως που έχει σημασία είναι να έχουμε επίγνωση κάθε φορά σε ποια προπαίδεια βρισκόμαστε. Δες για παράδειγμα αυτή εδώ την καρτέλα. Αυτή εδώ η καρτέλα έχει την προπαίδεια του 6, του 7, του 8 και του 9. Πάμε να κάνουμε την πρώτη πράξη. Πόσο κάνει 28 δια 7. Άρα στο μυαλό μας έχουμε τον αριθμό 28. Έχουμε 28 τραπουλόχαρτα. Και θέλουμε να δούμε με πόσα εφτάρια μπορούμε να φτιάξουμε το 28. Πάμε λοιπόν στην προπαίδεια του 7, αφού μιλάμε για εφτάρια, να δούμε με πόσα αλματάκια, με πόσα εφτάρια θα φτάσω στο 28. Όπως βλέπετε φτάνουμε 4 αλματάκια. Άρα η απάντησή μου είναι 4. Το επόμενο παράδειγμα. 56 δια 8. Το διαβάζουμε λίγο διαφορετικά. Πόσα οχτάρια χωράνε στο 56. Άρα είμαστε στην προπαίδεια του 8. Πάμε λοιπόν στην προπαίδεια του 8 και κοιτάμε με πόσα οχτάρια θα φτιάξουμε το 56. Προχωρώντας βλέπουμε ότι χρειαζόμαστε 7 οχτάρια για να φτιάξουμε το 56. Άρα η απάντησή μας είναι 7. Αφού λοιπόν ξεκαθαρίσαμε πώς κάνουμε τις απλές διαίρεσεις, πάμε τώρα να δούμε πώς δουλεύει η κάθετη διαίρεση. Θα ξεκινήσω πρώτα με μικρούς αριθμούς για να καταλάβουμε τη διαδικασία και μετά θα πάμε με πολυψήφιους αριθμούς. Θέλω να μου πεις λοιπόν Αχιλέα πόσο κάνει 7 δια 2. Άρα λοιπόν έχουμε στο μυαλό μας 7. Έχουμε 7 τραπουλόχαρτα. Νάτα εδώ. Και θέλουμε να δούμε πόσα διάρκεια, πόσες ομάδες των 2 μπορείς να φτιάξεις μετά αυτά τα 7 τραπουλόχαρτα. Παίρνουμε λοιπόν μία ομάδα των 2, άλλη μία ομάδα των 2, άλλη μία ομάδα των 2 και μας περίσεψε ένα τραπουλόχαρτο. Πώς θα γράφουμε λοιπόν αυτό με τον κάθετο τρόπο. Γράφουμε αριστερά τον πρώτο αριθμό και δεξιά τον δεύτερο αριθμό. Και ποια είναι η απάντησή μας. Στιάξαμε τρεις ομαδούλες. Νάτες εδώ τις τρεις ομαδούλες. Και μας έχει περισσέψει μία καρτούλα. Και πώς το βρίσκουμε αυτό. Λέμε 2 x 3 είναι 6. Είναι αυτές οι 6 κάρτες και το γράφουμε εδώ. Άρα έχουμε χρησιμοποιήσει τις 6 κάρτες. Γι' αυτό και κάνουμε αφαίρεση. 7 βγάζω 6. Μας κάνει 1. Και το 1 είναι αυτή εδώ η κάρτα η οποία μας έχει περισσέψει. Αυτή είναι λοιπόν η κάθετη διαδικασία. Και ο αριθμός αυτός εδώ μας δείχνει το υπόλοιπο. Εδώ λοιπόν τον αριθμό τον πρώτο τον λέμε διαιρετέο. Είναι οι κάρτες που έχουμε στο μυαλό μας. Τον δεύτερο αριθμό τον ονομάζουμε διαιρέτη. Τον αριθμό εδώ τον ονομάζουμε πηλήκο, το αποτέλεσμά μας. Και οι κάρτες που μας περίσσεψαν τις ονομάζουμε υπόλοιπο. Για να δούμε εάν το κάναμε σωστά. Υπάρχει μια διαδικασία που λέγεται παλήθευση. Και τι κάνουμε στην παλήθευση. Πολλαπλασιάζουμε το πηλήκο με το διαιρέτη. 3 x 2, 6. Χρησιμοποιήσαμε όπως βλέπετε εδώ 6 τραπουλόχαρτα. Και προσθέτουμε και τις κάρτες που μας περίσσεψαν. Το υπόλοιπο 6 και ένα 7. Άρα λοιπόν χρησιμοποιήσαμε και τις 7 κάρτες. Και βλέπουμε λοιπόν ότι έχουμε κάνει σωστά τη διαδικασία. Και αυτό αν το δούμε σαν με τα αντίστοιχα σύμβολα. Αυτά είναι τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε. Πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη με το πηλήκο. Και προσθέτουμε το υπόλοιπο. Και αν βρούμε το διαιρετέο, τότε έχουμε κάνει σωστά την πράξη. Και αυτό ονομάζεται ευκλήδια διαιρέση. Προς τιμή του δημιουργού του, του αυτός που την ανακάλυψε ένας πολύ σπουδαίος Έλληνας μαθηματικός, ο Ευκλήδης. Για να σιγουρευτούμε λοιπόν τώρα ότι το έχεις καταλάβει αυτό αχιλέα. Για κάνε το πάλι μόνο σου τη διαδικασία 7x2. Πάρε λοιπόν 7 τραπουλόχαρτα και φτιάξε ομάδες των 2. Φτιάξτε λοιπόν εδώ ότι βλέπω μία ομάδα των 2. Άλλη μία ομάδα των 2. Και από ότι βλέπω σταμάτησες εδώ πέρα. Και λες 2 x 2, 4. Έχεις πάρει 4 τραπουλόχαρτα. Και κάνεις την αφαίρεση αφού έχεις χρησιμοποιήσει 4 κάρτες. 7 βγάζω 4. Μας κάνει 3. Ωραία. Είναι σωστό αυτό αρχιλέα. Έχεις κάνει και υπαλήθευση. Για να δω. 2 x 2, 4. Σωστά. 2 x 2, 4. Και 3 κάρτες που σου περίσεψαν 7. Άρα όντως η υπαλήθευση φαίνεται να είναι μια χαρά. Όμως θυμίσου λίγο το προηγούμενο παράδειγμα. Είχαμε βγάλει ένα άλλο αποτέλεσμα. Είχαμε βγάλει ότι το πηλήκο ήταν 3 ενώ εσύ το πηλήκο το βγάζεις 2. Ποιος είναι σωστό και ποιος είναι λάθος. Εδώ υπάρχουν και άλλα διάρκεια. Έπρεπε λοιπόν να συνεχίσεις. Δεν μπορεί ο καθένας να σταματάει όπου θέλει. Άρα λοιπόν, για να συμφωνήσουμε και να κάνουμε όλοι σωστά την διέρεση, ο δικός σου τρόπος που επιχείρεις εδώ δεν είναι σωστός, παρόλο που επαληθεύεται εδώ αυτή η ισότητα. Θα πρέπει πάντα, όταν σε ρωτάνε πόσα διάρκεια χωράνε σε ένα ρυθμό στην προκειμένη περίπτωση, να βρεις όλα τα διάρκεια. Άρα θα πρέπει να σταματάς, και αυτή είναι η σωστή πράξη, μόνο όταν το υπόλοιπο σου είναι μικρότερο από το διαιρέτη, όταν δεν γίνεται να βρεις άλλα διάρκεια. Δεν μπορείς να σταματήσεις όποια στιγμή θέλεις. Γι' αυτό το λόγο και η ευκλήδα διέρεση συμπληρώνεται με αυτόν τον περιορισμό, ότι πρέπει πάντα το υπόλοιπο να είναι μικρότερο από το διαιρέτη. Διαφορετικά, δεν μπορώ να σταματήσω. Αφού λοιπόν καταλάβαμε πλήρως ποιος είναι ο ορισμός, πώς εφαρμόζουμε σωστά την ευκλήδα διέρεση, πάμε με έναν διψήφιο αριθμό να κάνουμε διαιρέσεις με μεγαλύτερος αριθμός. Πόσο κάνει 42, δια 3. Γράφουμε λοιπόν τα αριστερά τον διαιρετέω, δεξιά το διαιρέτη και ξεκινάμε. Έχουμε μονάδες δεκάδες. Η διέρεση είναι η μόνη πράξη που ξεκινάει από τα αριστερά προς τα δεξιά, σε σχέση με όλες τις άλλες κάθετες πράξεις. Εννοώ πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός. Και γιατί συμβαίνει αυτό. Για παράδειγμα, αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα. Αν ξεκίνηγα από τα δεξιά και έλεγα πόσα τριάρια χωράνε στο 2, κανένα τριάρι δεν χωράει στο 2. Αυτό τι σημαίνει, ότι δεν χωράνε τριάρια στο 42. Όχι βέβαια. Γι' αυτό λοιπόν ξεκινάμε πάντα από τα ψηφία που έχουνε μεγάλη θεσιακή αξία. Στην προκειμένη περίπτωση, από τις δεκάδες. Ξεκινάμε λοιπόν και δίνουμε έμφαση μόνο στις δεκάδες, το πρώτο ψηφίο, γι' αυτό και το τονίζουμε για να το θυμόμαστε αυτό. Άρα το πρώτο πράγμα που κάνει είναι τονίζω, τονίζω το ψηφίο που θα δουλέψω στην αρχή. Και πάμε να κάνουμε τη διέρεση και να πούμε πόσα τριάρια χωράνε στο 4. Άρα σκέφτομαι τα τραπουλόχαρτα, έχω 4 τραπουλόχαρτα, πόσα τριάρια μπορώ να φτιάξω. Μόνο ένα τριάρι και γράφω την απάντησή μου εδώ. Ωραία. Άρα η μία ομάδα από τρία, μία ή τρεις, τρεις, έχω χρησιμοποιήσει τρία φύλλα, οπότε πολλαπλασιάζω και το αφαιρώ για να δω πόσα φύλλα μου περίσεψαν. Μου έχει περισσέψει, όπως βλέπετε, ένα τραπουλόχαρτο εδώ. Άρα αυτή είναι όλη η διαδικασία. Και αυτή τη διαδικασία την επαναλαμβάνουμε σε όλα τα ψηφία. Θέλω να παρατηρήσεις κάτι, θέλω να παρατηρήσεις εδώ τα πρώτα σύμβολα από τα βήματα που έχουν κάνει. Τι σου θυμίζουν? Μου θυμίζει το ταξί. Σωστά, όλοι μαθητές το ίδιο λένε, τους θυμίζει το ταξί. Άρα λοιπόν αν δυσκολεύεσαι να θυμάσαι σε όλα αυτά τα βήματα που εφαρμόζουμε στην κάθετη διαίρεση, θα θυμάσαι το ταξί. Πάμε λοιπόν να εφαρμόσουμε το ταξί και στο ψηφίο των μονάδων. Τονίζουμε λοιπόν το ψηφίο των μονάδων και το κατεβάζουμε, γιατί δεν είναι πρώτο. Έχουμε λοιπόν συνολικά τώρα 12 μονάδες, γι' αυτό είναι και καλό να το κυκλώνουμε για να θυμόμαστε πόσες μονάδες έχουμε. Πάμε να δώσουμε την απάντησή μας, πόσα τριάργια χωράνε στο 12, 4. Τρεις φορές το 4 μας κάνει 12. Άρα απαντήσαμε, μετά ακολουθώντας το ταξί πρέπει να πολλαπλασιάσω, 3, 4, 12, το γράφω κάτω από το 12 και το τελευταίο βήμα είναι να αφαιρέσω 12, βγάζω 12, μας κάνει 0. Αυτή λοιπόν είναι η διαδικασία για να κάνουμε την κάθετη διαίρεση. Αυτό που είναι πολύ σημαντικό είναι ότι όσα ψηφία έχει ο διαιρετέος, τόσα ψηφία πάντα θα έχει και το πηλίκο. Αυτό είναι μια πολύ βασική αρχή και θα δεις στη συνέχεια πόσο πολύ θα σε βοηθήσει για πιο πολύπλοκες διαίρεσεις. Είναι καλό σε πρώτη φάση να χρησιμοποιείτε τετραγωνισμένο χαρτί για να μπορέσετε αριστερά δεξιά να βάζετε σωστές θέσεις όλα τα ψηφία. Αλλά επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία κάναμε για αυτή την τέλεια διαίρεση και λέγεται τέλεια διαίρεση γιατί έχουμε υπόλοιπο 0. Άρα ολοκληρώθηκε πλήρωση διαίρεση. Η διαδικασία λοιπόν που κάνουμε είναι η εξής. Πρώτα θα τονίζουμε και θα κατεβάζουμε, στη συνέχεια θα απαντάμε, θα διαιρούμε με τον τρόπο χωράει, στη συνέχεια θα πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη και τέλος θα αφαιρούμε. Και θα εφαρμόζουμε αυτά τα βήματα που θα τα λέμε ταξί σε όλα τα ψηφία. Πάμε λοιπόν να κάνουμε διαδρομές με το ταξί με πιο μεγάλους αριθμούς. Πόσο κάνει λοιπόν 78 για 4. Έχουμε δύο ψηφία εδώ, δύο ψηφία θα έχουμε και στον, δύο θεσούλες πρέπει να έχουμε και στο πηλίκο. Ξεκινάμε λοιπόν. Τονίζω το 7. Αν είναι το πρώτο ψηφίο δεν χρειάζεται να το κατεβάζουμε. Το 4 στο 7, πρέπει να δώσω μία απάντηση, χωράει μία φορά. Πάμε λοιπόν στον πολλαπλασιασμό μας, μία φορά το 4 μας κάνει 4, το γράφουμε και αφαιρούμε. 7 βγάζω 4, 3. Ολοκληρώσαμε το ταξί για τις δεκάδες. Πάμε τώρα στις μονάδες. Τονίζουμε το ψηφίο των μονάδων και το κατεβάζουμε. Και πλέον έχουμε τον αριθμό 38. Πάμε να δώσουμε μία απάντηση. Πόσα τεσάρια χωράνε στον 38. Εδώ αν κάποιοι δυσκολεύεστε, δεν έχετε μάθει πολύ καλά την προπαίδεια, θα σας πρότεινα το εξής. Θα σας πρότεινα να γράφετε δίπλα τα εύκολα γινόμενα της προπαίδειας. Το 1 τεσάρι που κάνει 4, τα 2 τεσάρια που κάνουν 8, τα 10 τεσάρια που κάνουν 40, βάζω απλά ένα μηδενικό, και τα 5 τεσάρια που είναι το 20. Αυτά τα εύκολα γινόμενα που τα ξέρετε όλοι θα σας βοηθήσουνε για να σκεφτείτε περίπου τον αριθμό που λείπει κάθε φορά. Το 38, λοιπόν, εδώ, όπως βλέπουμε, είναι πολύ κοντά το 40, άρα θα χωράει 8 ή 9 φορές. Για να σκεφτούμε λίγο. 4, 8, 32. Ίσως πάει λίγο ακόμα. 4, 9, 36. Άρα 9 φορές είναι. Γράφω λοιπόν το 9, 4 φορές το 9, 36, το γράφω από κάτω, αφαιρώ, 8 βγάζω 6, 2, 3 βγάζω 3, 3 βγάζω 3, 0. Εδώ, λοιπόν, μας έμεινε υπόλοιπο 2. Να κάνουμε και την επαλήθευση. 19 επί 4 μας κάνει 76 και 2 το υπόλοιπο μας κάνει 78. Άρα το κάναμε σωστά, το υπόλοιπο μας είναι μικρότερο από το διαιρέτη, άρα όλα μια χαρά. Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μιας διέρεσης η οποία λέγεται ατελής, γιατί δεν ολοκληρώθηκε η διέρεση. Θα δούμε στο επόμενο μάθημα πώς συνεχίζουμε όταν θα μάθουμε αργότερα και τους δεκαδικούς αριθμούς. Αλλά στην ευκλήδα διέρεση σταματάω όταν το υπόλοιπο είναι μικρότερο από τον διαιρέτη. Θέλω να σας δείξω την διαδικασία που κάναμε και οπτικά. Θα σας πρότεινα λοιπόν να μπείτε όλοι στο φωτόδεντρο που έχει πολύ ενδιαφέρουσες δραστηριότητες και να δείτε τη δραστηριότητα που έχουν σχέση με την ευκλήδια διέρεση. Σε αυτήν εδώ την εφαρμογή μπορούμε να οπτικοποιούμε το διαιρετέο και το διαιρέτη. Στο παράδειγμα λοιπόν που κάναμε μόλις πριν, κάναμε την πράξη 78-24 οπότε κάναμε το διαιρέτη 78 και βλέπουμε εδώ 78 μπαλίτσες. Η αλήθεια είναι πάρα πολλές συμπαλίτσες και έχουν φύγει από την οθόνη αλλά θα τις επαναφέρουμε και ο διαιρέτης μας ήταν το 4 γιατί κάναμε 78-24. Άρα βλέπετε εδώ μας έφτιαξε τη διέρεσή μας ανατετράδες. Οπότε αν μετρήσουμε πόσες τετράδες χωράνε στο 78 βλέπουμε 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Χωράνε λοιπόν 19 τεσάρια και έχουμε υπόλοιπο 2. Αυτό ακριβώς που βρήκαμε και εμείς πριν με την κάθε διαδικασία. Αν είχα τον αριθμό 79 θα είχα υπόλοιπο 3. Ή αν είχα τον αριθμό ένα λιγότερο 77 θα είχα υπόλοιπο 1. Το υπόλοιπό μας όπως βλέπετε εδώ δεν μπορεί να είναι ποτέ πάνω από 4, γιατί αν επιχειρήσω να το κάνω πάνω από 4, βλέπετε δεν με αφήνει γιατί χωράει εν μια επόμενη τετράδα, οπότε αυτό το υπολογίζει. Μπορείτε λοιπόν να παίξετε εδώ πέρα με διάφορους αριθμούς, να αλλάζετε το διαιρέτη και το διαιρετέω και να καταλάβετε πραγματικά οπτικά την ευκλή διαδιέρεση. Συνεχίζουμε λοιπόν και με άλλες πράξεις και το επόμενο παράδειγμα είναι πόσο κάνει 732 για 4. Τώρα έχουμε ένα τριψήφιο αριθμό. Έχουμε λοιπόν μονάδες, δεκάτες και εκατοντάδες. Άρα και το πηλίκο μας θα έχει και αυτό τρεις θέσεις, γι' αυτό χωρίζω τρία κουτάκια για να ξέρω εξ αρχής πόσα ψηφία έχει το πηλίκο μου. Ξεκινάω λοιπόν με το ταξί στο ψηφίο των εκατοντάδων. Το 4 στο 7 χωράει μία φορά, μία φορά το 4 μας κάνει 4, υπόλοιπο 3. Συνεχίζω με τις δεκάδες, τονίζω και κατεβάζω, κυκλώνω για να δώσω έμφαση στον αριθμό που έχω πλέον στο υπόλοιπό μου, έχω τον αριθμό 33. Το 4 στο 33 πόσες φορές χωράει, χωράει αρκετές φορές, 6 φορές 4X6 24 και 7 φορές και 8 φορές 4X8 32, άρα 8 φορές 4X8 32. Το γράφω λοιπόν και αφαιρώ ακολουθώ στον ταξί 3X2 1, 3X3 0 και πάμε το ταξί στο τελευταίο ψηφίο, στον ψηφίο των μονάδων. Κυκλώνουμε, έχουμε λοιπόν 12 μονάδες, το 4 στο 12 χωράει 3 φορές, 3X4 12, υπόλοιπο 0. Και πάμε στην επόμενη άσκηση, έχουμε πάλι μια κάθετη διαίρεση με τριψήφιο αριθμό, μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες εδώ, μονάδες, δεκάδες και εκατοντάδες και στο πηλίκο μας. Τονίζουμε το πρώτο ψηφίο, το 3 στο 1, πόσες φορές χωράει, πρέπει να δώσω υποχρεωτικά μια απάντηση, δεν μπορώ να ξεφύγω. Δεν θα σας πρότεινα να τονίσετε το επόμενο ψηφίο, γιατί θα δείτε σε επόμενες διαίρεσεις ότι θα μπερδευτείτε ακολουθώντας απλά κανόνες. Το 3 λοιπόν στο 1 χωράει 0 φορές, δεν χωράει καμία φορά. Και μπορώ να κάνω ολόκληρη τη διαδικασία, 0 φορές στο 3, 0, υπόλοιπο 1. Τονίζω και κατεβάζω. Έχουμε λοιπόν τον αριθμό 14, άρα πόσα τριάρια χωράνε στο 14, για να δώσω την απάντησή μου. Χωράνε 4, 3, 4, 12, κάνω την αφαίρεσή μου και μου μένει υπόλοιπο 2. Και πάμε να εφαρμόσουμε το ταξί και στο ψηφίο των μονάδων, τονίζω και κατεβάζω. Άρα έχω πλέον τον αριθμό 27, μπορώ να τον κυκλώνω για να μην ξεχνιέμαι, το 3 στο 27 χωράει 9 φορές, 3, 9, 27, κάνω την αφαίρεσή μου και υπόλοιπο 0. Άρα το 3 στο 147 χωράει 49 φορές, γιατί έχω 0 στο ψηφίο των εκατοντάδων, έχω 0 εκατοντάδες, δεν μετράει αυτό το μηδενικό. Εδώ πολλά παιδιά το μηδενικό αυτό το λένε χαζό μηδεν, γιατί πραγματικά δεν μετράει. Πάμε στο επόμενο παράδειγμα, 812-24. Έχουμε λοιπόν τρεις θέσεις στον διαιρετέο, άλλα τρεις θέσεις και στο πηλίκο. Το 4 στο 8, τονίζω, χωράει 2 φορές, 2, 4, 8, υπόλοιπο 0. Τονίζω και κατεβάζω το ψηφίο των δεκάδων, το 4 στο 1, πόσες φορές χωράει, εδώ πρέπει να γράψω οπωσδήποτε μια απάντηση, δεν χωράει καμία φορά. Εάν συνεχίσετε, όπως πολλά παιδιά συνεχίζουν και τονίζουν και το επόμενο ψηφίο, μπορεί εδώ πέρα να παρασυρθείτε και να κατεβάσετε και το 2, χωρίς να βάλετε το μηδενικό εδώ, και να βρείτε την απάντηση 23. Όπως καταλαβαίνετε, η απάντηση 23 δεν είναι σωστή, γιατί 4 φορές στο 23, πόσο μας κάνει, 4 φορές στο 28, 3, 4, 12, μας κάνει 92, δεν κάνει 812. Γι' αυτό λοιπόν είναι σημαντικό να εφαρμόζετε κάθε φορά όλα τα βήματα, όπως τα έχουμε πει με τη σειρά. Άρα λοιπόν, το 4 στο 1 δεν χωράει, το δεν χωράει σημαίνει 0, δεν χωράει καμία φορά, οπότε γράφω το μηδενικό στην αντίστοιχη θέση. 0 φορές το 4, 0, και έχω πάλι υπόλοιπο 1. Και πάμε το ταξίδι για το ψηφίο των μονάδων, οπότε πλέον έχω τον αριθμό 12, το 4 στο 12 χωράει 3 φορές, 3, 4, 12, υπόλοιπο 0. Άρα και έχω αυτή τη διαίρεση, ακολουθώ με τα ίδια βήματα χωρίς να αλλάζουμε τους κανόνες. Επόμενο παράδειγμα. Αυτό είναι το πρώτο παράδειγμα που έχουμε διαιρέτη διψήφιο αριθμό. Ξεκινάμε εμείς την ίδια τεχνική. Εδώ θα δείτε ότι σας βοηθήσει πάρα πολύ να γράψετε εδώ τα γινόμενα, τα εύκολα γινόμενα του 12. Το 1 δωδεκάρι ότι είναι 12, τα 2 δωδεκάρια ότι είναι 24, τα 10 δωδεκάρια ότι είναι 120, απλά βάζετε ένα μηδενικό εδώ, τα 5 δωδεκάρια που είναι το μισό του, 120 δηλαδή το 60. Αυτό θα σας βοηθήσει πολύ από το να κάνετε πάρα πολλές πράξεις και δοκιμές για να βρείτε πόσα δωδεκάρια χωράνε κάθε φορά στον αντίστοιχο διαιρέτη. Ξεκινάμε λοιπόν. Τρεις θέσεις έχει ο διαιρετέος, τρεις θέσεις βάζω και στο πηλίκο. Το 12 στο 6 πόσες φορές χωράει, δεν χωράει. Χωράει 0 φορές. 0 φορές στο 12, 0, από υπόλοιπο 6. Ακολουθώ κανονικά τη διαδικασία. Τονίζω και κατεβάζω το επόμενο ψηφίο, έχω λοιπόν τον αριθμό 68. Το 12 στο 68 πόσες φορές χωράει, δείτε εδώ πόσο βοηθάει τώρα αυτό που έχουμε γράψει, χωράει σίγουρα 5 φορές 60. Να χωράει και 6 φορές, 60 κι άλλο ένα δωδεκάρι 72. Όχι, άρα 5 φορές. Γράφουμε λοιπόν το 5, 5 φορές το 12 μας κάνει 60 και υπόλοιπο 8. Τονίζω και κατεβάζω το ψηφίο των μονάδων. Άρα η ερώτησή μου είναι πόσα δωδεκάρια χωράνε στο 84. Για να δούμε εδώ, σίγουρα πάνω από 5, μήπως είναι και 6, 60 και 12, 72. Ναι, μήπως είναι 7, 60 και 24, 84. Ναι είναι 7, 7 δωδεκάρια. Άρα γράφω το 7, 7 επί 12, 84 και υπόλοιπο 0. Άρα λοιπόν η απάντησή μας είναι 57. Εδώ το μηδενικό δεν μετράει. Και όταν μάθετε αυτή τη διαδικασία και εξηγηωθείτε και για τα πιο μεγάλα παιδιά, μπορείτε να κάνετε και το σύντομο τρόπο. Ο σύντομο τρόπος είναι ο εξής. Πάλι, τρεις θέσεις κανονικά στο πηλίκομο. Το 12 στο 6 χωράει 0 φορές, το γράφω. Τονίζω και το επόμενο ψηφίο. Πάω λοιπόν να συμπηρώσω αυτό το ψηφίο. Το 12 στο 68 χωράει όπως είπαμε πριν 5 φορές. 5 φορές το 12, 60 από 68, 8. Τονίζω και κατεβάζω και το ψηφίο των μονάδων. Το 12 στο 84 χωράει 7 φορές. 7 φορές το 12, 84. Υπόλοιπο 0. Άρα όταν εξηγηωθείτε μπορείτε να χρησιμοποιείτε και το σύντομο τρόπο. Και πάμε να κάνουμε και μια διέρεση με ένα τετραψήφιο αριθμό το 1710 για 6. Και αυτό θα το κάνουμε μαζί στον πίνακα. Έχω τέσσερα ψηφία εδώ. Άρα και εδώ ξέρω εξ αρχής ότι το πηλίκο μου θα έχει τέσσερις αριθμούς. Ξεκινάμε λοιπόν. Μπορούμε να γράψουμε εδώ το ταξί, εδώ πέρα για να θυμάστε τα βήματα. Και ξεκινάμε. Τονίζω το πρώτο αριθμό. Το 6 στο 1 χωράει 0 φορές. 0 φορές το 6, 0. Άρα πάλι 1 θα μου περισσέψει. Άρα τονίζω το επόμενο και εστιάζω στο 17. Στο 6 το 17 χωράει 2 φορές. 2 η 6 12, 12 βγάζω 17, μας κάνει 5. Κάνω το σύντομο τρόπο τώρα. Πάμε στο ψηφίο των δεκάδων, τονίζουμε και κατεβάζουμε. Το 6 στο 51 πόσες φορές χωράει? 6, 8, 48. 8 φορές είμαστε πολύ κοντά. Άρα 51 μειών 48. Από τα 48 στο 51 τέλω 3 θέσεις. Άρα υπόλοιπο 3. Τονίζω και κατεβάζω το ψηφίο των μονάδων. Άρα έχουμε εδώ πέρα το 30. Το 6 το 30 χωράει 5 φορές ακριβώς. 5, 6, 30. Υπόλοιπο 0. Και πάμε να δούμε και μια τελευταία πράξη. Το 8.257 δια 23. Εδώ λοιπόν θα μας βοηθήσει σίγουρα πολύ να γράψουμε τα γινόμενα, τα εύκολα γινόμενα του 23 για να αποφύγουμε τους πολλούς πολλαπλασιασμούς. Μία φορά το 23 λοιπόν μας κάνει 23. 2 φορές το 23. 20 και 20. 43 και 3 έξι. 46. Μετά θα χρειαστούμε το 5 φορές το 23 και το 10 φορές το 23. Γράφουμε πρώτα το 10 φορές το 23 που είναι πιο εύκολο, γιατί γράφουμε 23 και ένα μηδενικό. 230. Το 5 φορές το 23 είναι το μισό του 230. Άρα 115. Ή να δυσκολεύεστε το κάθετα. Και ξεκινάμε. Ένα, δύο, τρία, τέσσερα. Άρα και εδώ θα έχω τέσσερις θέσεις. Ξεκινάμε. Τονίζω το πρώτο ψηφίο. Το 23 στο 8 χωράει 0 φορές. Αυτό θα το κάνω αναλυτικά. 0 φορές το 23. 0. Αφαιρώ. 8. Τονίζω και κατεβάζω. Έχω τον αριθμό 82. Το 23 στο 82. Για πάμε εδώ να δούμε. Χωράει σίγουρα 2 φορές. 5 φορές δεν χωράει. Άρα θα χωράει κάπου ανάμεσα στο 5 και στο 2. Μήπως χωράει τέσσερις φορές. Διπλασιάζουμε το 46. 46 και 46 είναι πάνω από 80. Άρα χωράει σίγουρα 3 φορές. 40 και 20. 60. 6 και 39. 69 μια χαρά χωράει. Άρα 3 φορές το 23. 69. Και κάνουμε το την αφαίρεση. 2 βγάζω 9 δεν γίνεται. Δανείζομαι από εδώ. Οπότε έχω 12. 12 βγάζω 9. 3. 7 βγάζω 6. 1. Έχω λοιπόν υπόλοιπο 13. Συνεχίζω με το επόμενο ψηφίο. Τονίζω και κατεβάζω. Έχω τον αριθμό 135. Πόσες φορές χωράει το 23 στο 135. Πάμε να δούμε. Σίγουρα πάνω από 5 φορές αφού είναι 115. Μήπως χωράει 6 φορές. 115 και 23 μας κάνει 138. Όχι. Χωράει μόνο λοιπόν 5 φορές. 5 φορές το 23 το έχουμε έτοιμο. 115. 5 βγάζω 5. 0. 3 βγάζω 1. 2. Και 0. Και πάμε το τελευταίο ψηφίο. Έχω τον αριθμό 207. Πόσες φορές χωράει το 23 στο 207. Πάνω από 5 φορές σίγουρα. Μήπως χωράει 7 φορές. 115 και 46. 150, 161. Μήπως χωράει 8 φορές. Μπορούμε να κάνουμε και μια πράξη. Κάθετα. 23 επί 8. 3824. Να σας δυσκολεύει κάνετε το κάθετα. Υπόλοιπο 2. 28, 16. Και 2. 18. 184. Μάνω χωράγε 9 φορές. Οπότε 23 επί 9. Επαναλαμβάνω όποιοι δυσκολεύεστε τα κάνετε κάθετα. 3. 9. 27. Υπόλοιπο 2. 2. 9. 18. Και 2. 20. Ακριβώς 9 φορές. Χωράει λοιπόν 9 φορές. Οπότε 3 φορές το 9. 207. Και υπόλοιπο 0. Άρα το 23 στο 8.257 χωράει 359 φορές εφόσον αυτό το μηδενικό δεν μετράει. Άρα λοιπόν, για να κλείσουμε, αυτό που θέλω να σας μείνει από το σημερινό μάθημα, από την κάθετη διαίρεση, είναι το εξής. Όσα ψηφία έχει ο διαιρετέος, τόσα ψηφία θα έχει πάντα και το πηλίκο. Και τα μηδενικά, αν προκύπνουν μηδενικά, μπορεί να μετράνε, μπορεί να μη μετράνε, αλλά έτσι δεν θα χρειάζεται να εγκέφτεστε κανέναν κανόνα απ' έξω. Επομένως, έχει σημασία να εφαρμόζεται το ταξί αν δυσκολεύεται η διαδικασία και να εφαρμόζεται αυτή την απλή αρχή και έτσι δεν θα χρειάζεστε να θυμάστε διαφορετικούς κανόνες και με μία στρατηγική γίνεται οποιαδήποτε κάθετη ευκλήρια διαίρεση, είτε είναι μονοψήφιος ο διαιρέτης είτε είναι πολυψήφιος ο διαιρέτης. Σας εύχομαι λοιπόν να σας βοήθηκε το σημερινό ταξί και να χρησιμοποιήσετε το ταξί για να κάνετε πάρα πολλές διαιρέσεις και ασφαλείς διαδρομές. Σας ευχαριστώ που παρακολουθήσατε το σημερινό μάθημα και καλή συνέχεια. |
