| ενότητα 2 , #6, 20/03/14: Μέχρι να μπει μπροστά το όλο σύστημα για να δούμε πού βρισκόμαστε. Έτσι, μιλάμε για τα στοιχεία του ευκλήδη και έχουμε επικεντρωθεί στο πρώτο βιβλίο του ευκλήδη, σε εκείνο που βάζει τις βάσεις για τη γεωμετρία του επιπέδου. Έχουμε αναφερθεί στο ότι έχει βάλει πέντε αξιώματα και κάποιες κοινές έννοιες. Αξιώματα, αιτήματα, τα έχει ονομάσει, από τα οποία τα περισσότερα μοιάζουν αυτό που περιμένουμε δεχτός από το πέμπτο, το οποίο έχει κάτι να κάνει με δύο ευθείες που τέμνονται από άλλη ευθεία και που το άθρυσμα των γωνιών τους είναι μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες κάποια στιγμή θα τέμνονται. Το πέμπτο έτημα έχει την αίσθηση ότι είναι λιγότερο φυσικό από τα άλλα, έχει την αίσθηση ότι είναι κάτι το οποίο μπορεί να αποδειχθεί. Και μάλιστα αυτή την αίσθηση φαίνεται να την έχει και ο ίδιος ο Ευκλήδης, γιατί στο βιβλίο του καθυστερεί όσο μπορεί να τη χρησιμοποιήσει. Έτσι και χαρακτηριστικά μάλιστα το συγκεκριμένο εμφανίζεται, για πρώτη φορά χρησιμοποιείται αυτό το έτημα στην πρόταση 28 του πρώτου βιβλίου. Κάποια πενενταριά είναι η προτάση του πρώτου βιβλίου, αυτό εμφανίζεται στην πρόταση 28. Μέχρι τότε δεν το έχει χρησιμοποιήσει. Και η πρόταση 28 έχει κάτι να κάνει με το πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες, παίρνει δύο ευθείες και η πρόταση αυτή, στην οποία χρησιμοποιεί για πρώτη φορά το έτημα, το πέμπτο έτημα, λέει αν αυτή εδώ η γωνία είναι ίση με αυτήν εδώ τη γωνία, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. Πρόταση 28 από εκείνο το βιβλίο. Φαίνεται, συμπερένουμε, ότι και ο ίδιος δεν ήταν απολύτως άνετος με το συγκεκριμένο έτημα. Εξήκη και είπαμε ότι αυτό που προσπάθησαν να κάνουν οι μαθηματικοί που τον ακολούθησαν, είναι να δείξουν ότι αυτό το έτημα είναι πρόταση και ότι μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα ετοίματα. Για παράδειγμα, ο πρόκλος που μιλήσαμε για αυτόν, γιατί χάρη σε αυτόν σώζονται πολλά στοιχεία, έτσι αναφέρεται πολύ στους παλιότερους μαθηματικούς. Ο πρόκλος, ο οποίος έζησε μετά Χριστό, γύρω στο 400-500 μ.Χ., αναφέρει ότι ο Πτολεμαίος, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς συνεχιστής του Ευκλήδη στην Αλεξάνδρια, στην Ακαδημία στην Αλεξάνδρια, στην Βιβλιοθήκη στην Αλεξάνδρια, είχε προσπαθήσει να το αποδείξει και ότι είχε δώσει έναν θασμένη απόδειξη. Για αυτό εδώ το έτημα, το πέμπτο έτημα και στη συνέχεια ο πρόκλος προχωράει και επιχειρεί και αυτός μία απόδειξη του πέμπτου αιτήματος που και εκείνο είναι θασμένη. Δεν ήταν ο μόνος. Οι μαθηματικοί συνεχίσαν να προσπαθούν να δώσουν την απόδειξη του πέμπτου αιτήματος βασισμένη στα υπόλοιπα τέσσερα. Και μάλιστα κατά καιρούς είχαν βγει τέτοιες αποδείξεις μέχρι να αποδειχθούν ότι και αυτές είχαν ότι ήτανε λάθος. Πρώτη φορά που χρησιμοποιείτε το έτημα είναι στην απόδειξη της πρότασης 28. Έχω γράψει και τα άλλα τα αιτήματα. Εκείνο που θέλω να επικεντρώσουμε είναι και το έτημα 2. Το έτημα 2 λέει ότι αν πάρω ενευθύγραμο τμήμα μπορώ να το επεκτείνω. Κατά τον Ευκλήδη μπορούσες να φτιάξεις μια άπειρη ευθεία. Εκεί περισσότεροι έτσι σκεφτόμαστε τις ευθείες. Τι είναι ευθεία όμως, πώς τα ορίζουμε την ευθεία. Βάζω ένα ερωτηματικό εδώ. Έχω βάλει κάτι για το δεύτερο έτημα, ένα στεράκι για να το προσέξουμε. Το πέμπτο είναι το έτημα το οποίο μας απασχολεί. Το πέμπτο έτημα ο Ευκλήδης το χρησιμοποίησε για πρώτη φορά στην απόδειξη της πρώτης 28. Από αυτούς, αυτό είναι λοιπόν το πέμπτο έτημα τι είναι η ευθεία. Αυτή είναι ήδη μια ερώτηση, τι μπορείς να αποδείξεις. Από όλες αυτές τις προσπάθειες των μαθηματικών, βγήκαν ότι υπάρχουν πολύ ισοδύναμη τρόποι για να θέσεις το πέμπτο έτημα. Κι ένας από αυτούς είναι να πεις ότι σε ένα τρίγωνο, όλες οι γωνίες έχουν άθρυσμα δύο ορθές. Το πέμπτο έτημα του Ευκλήδης είναι ισοδύναμο με το να θεωρήσει κανείς ότι το άθρυσμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο είναι 180. Την προηγούμενη φορά είδαμε πώς το αποδεικνύει κανείς. Αλλά αυτό που είναι σημαντικό, αυτό που προσθέτω τώρα, είναι ότι αν ξεκινήσει κανείς με το να πει, εντάξει, οι γωνίες σε ένα τρίγωνο έχουν άθρυσμα 180, τότε μπορεί να αποδείξει και την πρόταση του Ευκλήδη. Αντίστοιχα, αυτό είναι ενδιαφέρον, γιατί είπα ότι ο Πρόκλος έδωσε κι ο ίδιος μία αναθασμένη απόδειξη. Αλλά ανάμεσα σε αυτά που έδωσε είναι το εξής. Βγαίνει από αυτά που έδωσε το εξής, ότι αυτό το πέμπτο έτοιμα του Ευκλήδη είναι ισοδύναμο με το να πει κανείς, ότι, εντάξει, ζούμε στο επίπεδο, είμαστε στη γεωμετρία του πιπέδου, ζούμε στο επίπεδο, έχουμε μία ευθεία και έχουμε ένα σημείο εκτός της ευθείας. Αν, λοιπόν, θεωρήσουμε ότι κάθε φορά που έχουμε ένα σημείο εκτός ευθείας, μπορούμε να φέρουμε μία παράλη, μία μόνο παράλη, ευθεία, στην πρώτη, τότε μπορεί κανείς να αποδείξει το πέμπτο έτοιμα. Αντίστροφα, το πέμπτο έτοιμα προκύπτει και σχετικά εύκολα, ότι υπάρχει μόνο μία παράλη από ένα σημείο εκτός ευθείας. Για να το δούμε αυτό, η μία κατεύθυνση είναι εύκολη και μπορούμε να τη δούμε. Θέλω, λοιπόν, στο επίπεδο, από σημείο εκτός ευθείας, διέρχεται μόνο μία παράλη, θα υποθέσω ότι ισχύει το πέμπτο έτοιμα και θα αποδείξω αυτό εδώ. Έχω την ευθεία, έχω το σημείο εκτός ευθείας. Η πρόταση είναι μετά την πρόταση 28, 31, 32 στο βιβλίο του Ευκλήδη, ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας μπορείς να φέρεις μία παράλη. Και ενδιαφέρον, την έχει καθυστερήσει και τόσο. Ποια είναι η απόδειξη? Από αυτό το σημείο που είναι εκτός ευθείας, έχει ήδη δείξει και το έχουμε δει, ότι μπορείς να φέρεις μία κάθετη. Από το σημείο αυτό εδώ, εκτός ευθείας, πάλι μπορείς να φέρεις μία κάθετη. Και μετά έχεις το θεόριμα εδώ, οι δύο γωνίες είναι ίδιες, χρησιμοποιείς την πρόταση 28 στην αποδείξη της οποίας έχεις χρησιμοποιήσει το πέμπτο έτοιμα. Και προκύπτει ότι αυτές οι δύο ευθείες είναι παράλληλες. Δεν πρόκειται να έχουν κάποιο σημείο ατομής. Ζούμε και οι δύο στο επίπεδο, είναι παράλληλες. Αυτή λοιπόν την κατεύθυνση, εντάξει, ότι υπάρχει μία παράλληλος, την βλέπουμε. Το άλλο επίσης, το οποίο μπορούμε να δούμε, έστω ότι υπήρχε άλλη μία παράλληλος, όχι αυτή, μία άλλη παράλληλος. Εντάξει, μπορείς να θεωρήσεις ότι αυτή εδώ είναι άλλη παράλληλος, χωρίς να είναι... Εντάξει, δεν ξέρουμε ακόμη, δεν ξέρουμε τι ορθογώνιος και παράλληλος. Μια ιδέα είναι ότι αν φέρεις μία ευθεία η οποία είναι κάθετη στην άλλη, επειδή αυτές εδώ οι δύο γωνίες είναι ίδιες, χρησιμοποιείς την πρόταση 28, έχεις αυτές εδώ τις αντίστοιχες γωνίες ίδιες και στην πρόταση 28 λέει οι δύο ευθείες θα είναι παράλληλες. Τώρα, έστω ότι υπήρχε άλλη μία παράλληλη, ξεχνάμε ότι αυτή εδώ η παράλληλη πρέπει να είναι κάθετη σε αυτή, αυτή είναι άλλη μία. Έστω, υπήρχε μία άλλη παράλληλη. Εφόσον αυτή εδώ είναι ίδια ορθογωνία και αυτή είναι μία άλλη, αυτή εδώ η τομή, αυτό εδώ είναι λιγότερο από 90, είναι λιγότερο από μία ορθή, το άθροισμα αυτών των δύο είναι λιγότερο από δύο ορθές, σύμφωνα με το πέμπτο έτημα, κάποια στιγμή θα έχεις την τομή. Το πέμπτο έτημα δείχνει ότι αν πάρεις ένα σημείο, άρα δεν υπάρχει άλλη, υπάρχει μόνο μία, έτσι, γιατί έχεις ήδη αποδείξει ότι οι δύο σου ευθείας είναι παράλληλες. Αν υπήρχε άλλη παράλληλη, το άθροισμα των γωνιών θα ήτανε μικρότερο από 180, άρα οι δύο ευθείες θα τέμνονταν και αυτό θα ήταν άτοπο, επειδή έχεις το πέμπτο έτημα. Το πέμπτο έτημα δείχνει ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας, μπορείς περνάει ακριβώς μόνο μία άλλη ευθεία, η οποία είναι παράλληλος προς την πρώτη. Αυτό που δείξανε, αυτό είναι απλό. Έτσι το πρώτο το κομμάτι, ότι υπάρχει μία ευθεία, το είχε ήδη ο Ευκλήδης. Ο Ευκλήδης δεν είχε απασχολήσει το πόσες ευθείες περνούν, αλλά το ότι υπάρχει μόνο μία, δεν είναι τόσο δύσκολο να το δείξει κανείς. Και αντίστροφο όμως, αυτό που δείξανε οι μαθηματικοί με τις προσπάθειες να αποδείξουν ότι αυτή είναι πρόταση, όλες προσπαθώντας να δείξουν αυτές τις ισοδυναμίες, έτσι είχαν καταλήξει ότι αν μπορείς να δείξεις ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας περνάει μόνο μία, παράλληλος, τότε έχεις το πέμπτο έτημα. Αυτό βρίσκεται στη δουλειά του Πρόκλου, αλλά είναι γνωστό σαν το αξίωμα του Πλέι Φε, ο οποίος είναι Σκοτσέζος μαθηματικός και έχει ζήσει γύρω στο 1700. Εντάξει, έχει μείνει τώρα σαν το αξίωμα του Πλέι Φε. Εντάξει, αλλά υπάρχουν και άλλες πολλές προτάσεις που αφορούν παράλληλες ευθείες, οι οποίες είναι ισοδύναμες. Το πέμπτο αυτό έτημα είναι γνωστό και σαν το έτημα των παραλληλών. Εντάξει, αφορά παραλλήλους. Ανάμεσα σ' αυτούς που δουλέψανε για να αποδείξουν ότι το πέμπτο έτημα είναι πραγματικά πρόταση, είναι ο Σατσέρη. Βλέπουμε 17.1667-1733. Και στη δουλειά που έκανε ο Σατσέρη, προσπαθώντας να αποδείξει, εντάξει, έστω ότι δεν είναι αυτό, να καταλήξει σε άτοπο, έδειξε ότι υπάρχει πολύ μεγάλη... Μπορούσε να αποδείξει σε άτοπο, στη μια περίπτωση, όταν το άθρησμα των γωνιών του τριγόνου ήταν μεγαλύτερο από 180, μπορούσε να καταλήξει σε κάτι που είναι άτοπο. Βασισμένος όμως, όπως και έτσι όλοι προσπαθούσαν, στο δεύτερο έτημα. Εκεί χρειάζεται πραγματικά το δεύτερο έτημα. Λέει, αν πάρω ένα ευθύγρομο τμήμα, μπορώ να το προεκτείνω. Δεν μπορούσε να αποδείξει το άτοπο, στην άλλη περίπτωση που το άθρησμα των γωνιών του τριγόνου είναι μικρότερο από 180. Και έχει μείνει κάπου εκεί. Ο Σατζέρη προσπάθησε να απορρίψει αυτές εδώ τις δύο προτάσεις, που είναι συνδεδεμένες με το άθρησμα των 180. Ότι αν έχουμε ένα σημείο εκτός ευθείας, δεν μπορούμε να φέρουμε καμία ευθεία παράλληλη, προς τη δικιά μας. Και αυτό είναι ισοδύναμο με το να λες, το άθρησμα των γωνιών του τριγόνου μεγαλύτερο από 180. Αυτό κατάφερε να το απορρίψει. Το επόμενο όμως, που λέει ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας, μπορούμε να φέρουμε περισσότερες από μία ευθεία παράλληλες προς την ευθεία, δεν μπόρεσε να την απορρίψει και έμεινε κάπου εκεί, πολύ πολύ σημαντική αυτή η συνισφορά. Έτσι και όπως είπα, είδε τη σύνθεση ανάμεσα στο δεύτερο και στο πέμπτο έτημα. Ανάμεσα σ' αυτούς που προσπάθησαν, γιατί αυτή η προσπάθεια συνεχίστηκε. Αναφέρω αυτά τα ονόματα που σας είναι γνωστά από άλλα. Έτσι, ο Λαμπέρ, ο οποίος είναι γνωστός γιατί έδωσε την πρώτη καλή απόδειξη, ότι το π είναι άριτος, μύριτος αριθμός, το 1766, ο οποίος έδειξε τη σχέση, έδειξε σχέση, ενάμεσα στο άθροισμα γωνιών τριγόνου, όσο μεγαλώνει το άθροισμα των γωνιών, μετά το 180, τόσο μικράνε το βαδό. Έτσι έδειξε αυτή τη σχέση. Αν μπορούσε, προσπαθούσαν να καταλήξει σε άτοπο. Και ανάμεσα σε αυτά που είπε, εντάξει, αν μικραίνει ή μεγαλώνει το άθροισμα των γωνιών ενός τριγόνου, δεν είναι ακριβώς 180, αν δεν είναι 180, που ξέρει να είναι 180 ισοδίνο με το 5ο αίτημα, αν δεν είναι 180, το ότι υπάρχει σένδεση ανάμεσα στον τριγόνο, στον τύπο που ξέρουμε για τον ευαδό του τριγόνου, και στο άθροισμα των γωνιών. Ο Δαλεμπέρ, δεν υπήρχε ακόμη αυτή η έννοια. Ο Δαλεμπέρ, θα το δούμε όμως αμέσως μετά. Ο Δαλεμπέρ αποκάλυσε το ζήτημα αυτής της συνεχής προσπάθειας για να βρεθούν, για να αποδειχθεί αυτό το αίτημα, σαν το μεγάλο σκάνδαλο των μαθηματικών. Και τώρα πάω και αυτό που είναι στο διάμεσο, τον Legendre, γάλλος, ο οποίος έδωσε 40 χρόνια από τη ζωή του προσπαθώντας να λύσει αυτό το πρόβλημα. Έδειξε κάποια πράγματα, για παράδειγμα, έδειξε ότι το 5ο αίτημα είναι ισοδύναμο, το 5ο αίτημα είναι ισοδύναμο με το να θεωρήσει κανείς ότι το άθροισμα των γωνιών είναι σ'ένα τρίγωνε 180, αυτό οφείλεται σε αυτό. Το 2009, πολύ πρόσφατα, σε συνέδριο της AMS, και αν μπει κανείς θα το δει, ανακαλύφθηκε ότι αυτός δεν είναι ο δικός μας, ο Λουί Λεζάνδρος, ο μαθηματικός, αλλά ένας, είχε συμμετάσχει στην Επανάσταση, στην Γαλλία, και μάλιστα ήτανε Κρεοπόλης. Έτσι, είχε το ίδιο όνομα, Λουί Λεζάνδρος, και είχαν εμπερδευτεί οι φωτογραφίες. Η μόνη γνωστή, η μόνο καρικατούρα που αντιστοιχεί στον Λουί Λεζάνδρο, είναι αυτό εδώ. Δεν ξέρω τώρα πόση σημασία έχει το να αποδίδεις, το να έχεις συνδέσει στο μυαλό σου την εικόνα κάποιου. Πάντως, εκείνος εκεί δεν είναι ο μαθηματικός ο Λουί Λεζάνδρος. Και έρχεται η συνέχεια. Και έχω βάλει εδώ για καινούργια γεωμετρία, γιατί το τέλος το ξέρουμε. Ξέρουμε ότι το πέμπτο έτημα είναι όντως έτημα. Δεν μπορεί να αποδειχθεί, αυτό το γνωρίζουμε. Και πάμε να φτάσουμε σε εκείνο το σημείο. Και έχω βάλει εδώ στην καινούργια γεωμετρία, την υπερβολική γεωμετρία προς το παρόν. Καινούργια γεωμετρία, την υπερβολική γεωμετρία, τρεις ονόματα. Έχω βάλει τον Γκάους και δίπλα έχω βάλει και την ημερομηνία, στην οποία ήρθε με την ιδέα ότι υπάρχει κάτι άλλο. Ότι δεν το πέμπτο έτημα, εάν θεωρείς ότι δεν ισχύει το πέμπτο έτημα, αλλά ισχύει κάτι άλλο, βγάζεις μια άλλη γεωμετρία, η οποία δουλεύει. Δεν είναι ότι το πέμπτο έτημα είναι όντως έτημα. Ένας, λοιπόν, είναι ο Γκάους το 1810, ο Μπολιέ το 1832 και ο Λομπατσεύσκι. Και η ημερομηνία που έχω δίπλα στο Λομπατσεύσκι είναι το 1829. Είναι πιο νωρίς, είναι πριν από τον Μπολιέ. Μόνο που και ο Λομπατσεύσκι, θα δούμε ότι στην προσπάθεια του να το αποδείξει, δεν είχε καταφέρει, ήταν αυτά τα οποία έλεγε τόσο διαφορετικά, από αυτό που θέλαν ή πιστεύαν, από αυτό που επέβαλε το κατεστημένο, όποιο κατεστημένο υπήρχε, που δεν είχε γίνει δεκτή η έργασία του σε ένα μεγάλο περιοδικό. Και τελικά το 1829 είναι η ημερομηνία που τη δημοσίευσε στα Ρωσικά σε ένα τοπικό πανεπιστημιακό, σε μια τοπική πανεπιστημιακή έκδοση, και έτσι πέβηκε παρά έξω. Και χρειάστηκε να περιμένει για να βγει παρά έξω. Στο εντωμεταξύ έχουμε και τον Μπολιέ, ο οποίος δεν είχε καμία γνώση της δουλειάς που είχε κάνει ο Λομπατσεύσκι, και ο οποίος, όπως θα δούμε, έχει κάνει κάποια πράγματα, έχει κάνει στην ουσία, έχει ρημάσει η ιδέα της καινούργιας γεωμετρίας, και έχει καταφτάσει και σε αυτό. Και έχω και ένα ερωτηματικό, θέλω λίγο να τα συζητήσουμε αυτά. Η γεωμετρία στην οποία κατέληξαν και οι τρεις, είναι η υπερβολική γεωμετρία. Αν κάνετε ένα άλλο... προχωρήσετε σε ένα μάθημα γεωμετρίας, υπερβολική γεωμετρία, δηλαδή αυτό που λέει είναι ότι στο επίπεδο, σε αυτή τη γεωμετρία, από ένα σημείο το οποίο είναι εκτός ευθείας, διέρχονται δύο ευθείες, που είναι παράλληλες, δεν τέμνουν την αρχική ευθεία. Και αν ξεκινήσεις με αυτό, αν αντικαταστήσεις το πέμπτο έτοιμα με αυτό εδώ, μπορείς να φτιάξεις μια άλλη γεωμετρία. Με κανόνες, προτάσεις, θεωρήματα, το πώς λειτουργεί ο χώρος, κλπ. Είναι μια άλλη γεωμετρία. Θα το συζητήσουμε λίγο παραπάνω, πρώτα όμως να σχολιάσω... Είπαμε ότι στην υπερβολική γεωμετρία, εκτός ευθείας διέρχονται δύο ευθείες που είναι παράλληλες προς την αρχική, και ότι σε αυτή τη γεωμετρία, ισχύει αυτό που δεν είχε καταφέρει να απορρίψει ο Σατσαίη, ισχύει ότι το άτρισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο, είναι μικρότερο των δύο ορθών. Και όχι μόνο αυτό, αλλά ότι όλα τα όμια τρίγωνα, δεν είναι απλά όμια, είναι ίσα. Σε αυτή τη γεωμετρία, καταλήγεις με αυτές εδώ τις προτάσεις. Τον γνωρίζετε, τον γνωρίζετε ελπίζω, ή τον θα τον αναγνωρίσετε, είναι ο Γκάους. Έτσι, δεν είναι στην πιο νεαρή του ηλικία. Ο Γκάους, γεννήθηκε το 1777. Το 1810, ήταν ήδη, τριάντα, πόσο ήτανε, τριάντα κάτι χρονών. Έτσι, τριάντα, πόσο ήτανε, τριάντα κάτι χρονών. Τριάντα τριών χρονών. Λοιπόν, έχει βρεθεί στις σημειώσεις του, ότι είχε βγάλει αυτά τα συμπεράσματα για την καινούργια γεωμετρία. Και είναι σημειώσεις, τις οποίες δεν έχει δημοσιεύσει. Έτσι, τριάντα τριών χρονών, έχει κάνει πολύ δουλειά πριν, εξαιρετική, δηλαδή είναι λαμπρή δουλειά πριν, χωρίς να έχει πρόβλημα εκεί. Πολύ δουλειά μετά. Και αυτό το κομμάτι για τη γεωμετρία, είναι ένα κομμάτι το οποίο δεν δημοσίευσε. Γιατί δεν δημοσίευσε, εντάξει, επικρατούσε, όπως είπα προηγουμένως, για τους ίδιους λόγους, που η εργασία του Λομπατσεύσκι δεν είχε γίνει δεκτή. Επικρατούσε η ιδέα ότι η αυχλή διαγεωμετρία είναι το θέστατο, το σωστό. Έτσι, τώρα, για αυτές σημειώσεις είναι ενδιαφέρον, πάω η παϊδή για τον Λομπατσεύσκι. Ο Λομπατσεύσκι, για να δούμε και την ηλικία τους, 1792, εντάξει, 8 και 29 και αυτός μεγάλος, για μαθηματικός. Για να κάνει, για να τολμήσει να το κάνει αυτό. Εντάξει, τολμηρώ. Το 1829 δεν προσπάθησε και ξανά το 1840, τις ιδέες τους έβαλες σε πιο αναλυτικά, στο περιοδικό της Krel, και εκεί, τάξη της διαβάστηκε και στη Δύση, έφυγε από αναγνωρίς, άρχισε σιγά σιγά να διαβάζεται η δουλειά του. Το 1840, το 1829, 19 χρόνια μετά τον καούς. Και εδώ είναι ο Μπολιέ. Ο Μπολιέ, γεννημένος το 1802, την ανακάλυψή του, ξέρουμε ότι ήρθε σε αυτά, κατέληξε σε αυτά, το 1832, έγινε παράερτημα σε ένα βιβλίο του πατέρα του. Ήταν και ο πατέρας του επιστήμονας και μάλιστα, συνομιλούσε με τον καούς, φίλος του καούς. Και όταν ο γιος του κατάφερε και απέδειξε αυτά, είχε στείλει ο περήφανος πατέρας τον καούς γράμμα, στο οποίο περιέγραφε αυτά, και η απάντηση του καούς ήταν πολύ λαμπρό μυαλό. Δεν μπορώ να πω παραπάνω πράγματα να εκθιάσω παραπάνω αυτή τη δουλειά, γιατί θα ήταν σαν να εκθίαζα το ίδιο μου το έργο. Τα έχω κάνει ήδη. Αυτή ήταν η απάντηση του καούς, το οποίο βέβαια συναχώρησε τους Μπολιέ. Δεν έχουμε αφιβολία ότι το έχει κάνει ο καούς. Έχει βρεθεί σε σημειώσεις και ξέρουμε ότι πραγματικά, αλείγει την αλήθεια ότι τα είχε κάνει. Αυτό είναι η ιστορία για αυτήν εδώ τη γεωμετρία. Μένει κάτι, εντάξει, φτιάχνεις μια γεωμετρία. Υπάρχει κάποιο μοντέλο αυτής της γεωμετρίας. Όντως, ο Πουαγκαρέ έχει κάνει ένα τέτοιο μοντέλο. Έτσι. Γεωμετρία μέσα σε έναν κύκλο, στο εσωτερικό ένας κύκλος. Αυτό είναι το υπερβολικό επίπεδο. Αυτός ορίζεις τις ευθείες σου εδώ. Τις ορίζεις σαν διαμέτρους και σαν τόξα άλλων κύκλων εσωτερικών που τέμνουν τον εξωτερικό. Και αν το μελετήσετε, και λέω μελετήστε το, αν έχετε αυτόν τον ενδιαφέρον, εδώ βλέπουμε δύο ευθείες, που είναι αυτές που λέμε, η διάμετρη και τα τόξα άλλων κύκλων, οι οποίες είναι δύο ευθείες που είναι παράλληλες προς μια τρίτη. Κοιτάξτε το, θα το δείτε. Επίσης κάτι έτσι ενδιαφέρον για αυτούς που έχουν μια καλλιτεχνική κλήση. Είναι ότι και στα έργα του Έσσερ, μαθηματικός, σε αυτά τα έργα υποτίθεται ότι επικονίζει το υπερβολικό επίπεδο. Και αυτό είναι το έργο «Παράδεισος και η Κόλαση». Αν το μελετήσει κανείς θα δει ότι και οι άγγελοι και οι διάβολοι φτιάχνουν τριγωνάκια, όλα είναι ίσα και αυτό υποτίθεται ότι είναι μια επικόνιση του υπερβολικού επίπεδου. Αυτό είναι το υπερβολικό επίπεδο όταν από ένα σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε παραπάνω από μια ευθεία που δεν τέμνει την αρχική, δηλαδή είναι παράλληλη έτσι πως την καταλαβαίνουμε. Υπάρχει και αυτό. Υπάρχει περίπτωση να υπάρχει ένα μοντέλο γεωμετρίας, να υπάρχει κάποια γεωμετρία, έτσι ώστε από ένα σημείο εκτός ευθείας να μην υπάρχει καμιά παράλληλη προς τη δικιά μας. Η απάντηση και σε αυτό είναι ναι, αλλά για να έχεις το ναι εδώ, χρειάζεται να βγάλεις το δεύτερο έτοιμα, χρειάζεται να φύγει το δεύτερο έτοιμα, γιατί με το δεύτερο έτοιμα δεν θα μπορούσε αυτό να γίνει. Και αυτή είναι η δουλειά του ρήμαν, η ρημάνια γεωμετρία του ρήμαν, η ελλειπτική γεωμετρία, η σφαιρική γεωμετρία, όλα αυτά οφείλονται στη δουλειά του ρήμαν. Ο ρήμαν γεννήθηκε το 1826. Το 1854 παρουσίασε αυτή τη γεωμετρία. Ήτανε μέρος της εργασίας στη Γερμανία το σύστημα, ήταν μετά το διδακτορικό για να μπορέσει να συνεχίσει, αν είσαι, έτσι, κάνεις μια άλλη εργασία ακόμη πιο βαθιά, μετά το διδακτορικό, και αυτή είναι η εργασία του, την οποίαν την παρουσίασε σε δημόσια μπροστά σε κοινό, μετά πήρε θέση, του δώσαν τη θέση στο πανεπιστήμιο, καθηγητής και ούτω καθεξί. 1826 με 1866, το απέδειξε το 1854. Ολοκλήρωσε αυτή τη δουλειά το 1854, είναι ένα από τα πιο σημαντικά. Ο ρήμαν πέθανε μόλις 40 χρονών. Πέθανε από φυματίωση. Είχε γίνει ο αυστριακοπρωσικός πόλεμος. Έφυγε από το Κέντηγκεν, όπου ήτανε ο πουρίδας και στο Κέντηγκεν. Έφυγε το Κέντηγκεν, εντάξει, στο ταξίδι του πέθανε κάπου στην Ιταλία, έχει ταφθεί στην Ιταλία. Όταν έφυγε από το Κέντηγκεν, σε αυτό το διάστημα, όταν πέθανε, ο οικονόμος του σπιτιού, καθαρίζοντας όλα τα χαρτιά, έταξε όλα τα χαρτιά του. Έτσι, ό,τι δεν είχε δημοσιεύσει ο ρήμαν, ο οποίος ήτανε τελειωμανίες, έτσι δεν δημοσιεύε κάτι αν δεν είχε τα πάντα, αν δεν τα θεωρούσε στην καλύτερη μορφή, ό,τι είχε κάνει, χάθηκε. Σύμβανα λοιπόν με τη γεωμετρία του ρήμαν, υπάρχει η περίπτωση, έχουμε μια γεωμετρία στην οποία δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείας, δεν μπορώ να φέρω παράλληλη ευθεία, και πρέπει να τροποποιήσεις και το δεύτερο έτημα, και πρέπει να το τροποποιήσεις με τέτοιο τρόπο που να λέει ότι κάθε, όλες οι ευθείες γραμμές έχουν επεπερασμένο μήκος. Αυτό δεν έχει περάσει καν από το μυαλό των αρχιετών προηγουμένων. Όλοι ξεκινούσαν όταν είχε μεταδοθεί, όλες οι ευθείες μου, που μπορούμε να φανταστούμε, έχουν άπειρο μήκος. Σύμφωνα όμως με αυτό που έκανε με τη γεωμετρία του ρήμαν, οι ευθείες δεν έχουν άπειρο μήκος. Το σύμπαν εδώ που ζούμε είναι επεπερασμένο. Το σύμπαν μας είναι επεπερασμένο, αυτό το γνωρίζουμε. Είναι δυνατό αν υπάρχουν άπειρες ευθείες. Δεν ξέρουμε και τη διάμετρο του σύμπαντος, δεν υπάρχουν άπειρες ευθείες. Η γεωμετρία του ρήμαν, πάνω σε αυτήν βασίστηκε ο Einstein, έτσι για τη θεωρία της σχετικότητας. Όλα αυτά βασίζοντας σε αυτήν τη δουλειά που έχει κάνει ο ρήμαν. Μοντέλο αυτής της γεωμετρίας. Απλογικό σε αυτήν την περίπτωση, αναφέρω τον Klein. Έχει στην εσφέρα. Ποιες είναι οι ευθείες, έτσι πρέπει να πούμε ποιες είναι οι ευθείες. Ορίζεις ευθείας να είναι η μέγιστη κύκλη της εσφέρας. Έτσι αυτοί που περνάνε για πέξω. Εδώ βλέπουμε ότι όλοι θα τέμνονται, δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες εδώ. Με ένα ρολόι. Θέλω να αναφερθώ στη συνέχεια. Εντάξει, αυτό που έκαναν τέλος του 19ου αιώνα, έτσι αντιλήφθηκε ότι υπάρχουν και άλλες γεωμετρίες. Οπότε βέβαια αναρωτιέται κανείς αυτά που έχει δώσει ο Ευκλήδης και κατά πόσο γυρνάει κανείς και ξαναδιαβάζει το παλιό κείμενο και το διαβάζει με κριτικό μάτι. Και σε αυτήν εδώ την προσπάθεια θέλω να αναφέρω τον Hilbert 1862-1943. Κι αυτός Γερμανία. Η Γερμανία ήταν κέντρο των μαθηματικών της εποχής. Και μάλιστα κάτι ενδιαφέρον που θα έπρεπε να το είχα πει προηγουμένως που είπα τον Riemann. Δεν είναι τυχαίο που ο καθηγητής του Riemann, ο επιβλέπον του Riemann, ήταν ο ίδιος ο Γκάους. Έτσι δεν είναι τυχαίο ότι συνεχίστηκε αυτό. Ο επόμενος ίσως τραταχτό όνομα είναι ο Hilbert. Γι' αυτόν, θα ξαναμιλήσουμε για τον Hilbert. Έτσι πάντως ένα από τα πολύ περίφημα πράγματα τα οποία είναι γνωστά γι' αυτόν είναι ότι στην εργασία που είχε κάνει για τις αναλειωτές, που στην ουσία είχε αποδείξει ότι υπάρχει ένα σύνολο πεπερασμένο το οποίο κάνει αυτό το οποίο θέλεις να κάνεις. Θεόρημα ύπαρξης. Χωρίς να λέει είναι αυτά αυτά τα στοιχεία. Είχε αποδείξει για πρώτη φορά ένα θεόρημα ύπαρξης. Την πρώτη φορά που δοκίμασε να το δημοσιεύσει, απορρίφθηκε αυτό. Ο Gordon την είχε απορρίψει την πρώτη φορά γιατί μετά επενέβησαν και αναγκάστηκε να γίνει δεκτή η εργασία. Είχε πει όταν την είχε διαβάσει ότι αυτό δεν είναι μαθηματικά, είναι θεολογία. Δεν είναι αυτά μαθηματικά, θεολογία. Έχοντας αυτό υπόψη μπορούμε να δούμε τη συνέχεια. Ένα από τα πράγματα τα οποία είναι πολύ φημισμένος στο Hilbert είναι ότι το 1900 στο Διεθνές Συνέδριο στο Παρίσι έδωσε μια λίστα από 23 προβλήματα. Τα οποία είπε αυτά είναι τα προβλήματα του αιώνα. Αυτά πρέπει να προσπαθήσουν να λυθούν και αυτό ήταν μετά αυτό που προσπαθήσαν να κάνουν μαθηματική. Όποιος έλεγε ένα τέτοιο πρόβλημα είχε φήμη και δόξα. Έτσι κάποιοι από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του αιώνα ήταν μαθητές του. Πώς συνδέονται αυτά με τον Ευκλήδη. Διαβάζοντας πίσω τον Ευκλήδη αντιλαμβάνεται ότι υπάρχουν κάποια κενά και ότι υπάρχουν και λήψεις. Έτσι υπάρχουν κενά, ότι χρειάζονται άλλοι ορισμοί και άλλοι ορισμοί και άλλα αξιώματα. Μα και γι' αυτό σας έχω βάλει αυτό ενδεικτικά στην πρώτη πρώτη πρόταση που την έχουμε δει, που την είδαμε. Έτσι είδαμε πώς να κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο χρησιμοποιώντας κύκλους. Αλλά από πού προκύπτει ότι αυτοί οι κύκλοι τέμνονται. Είπαμε εντάξει τέμνονται από πού προκύπτει. Χρειάζονται και άλλοι και άλλα αξιώματα και άλλοι ορισμοί. Και το άλλο το οποίο παρατηρεί κανείς, εντάξει το είπαμε πριν για τον Ευκλήδη κάθε ευθύ αυτό ήταν το δεύτερο. Έτοιμα ότι κάθε ευθύα μπορεί να επεκταθεί όσο θέλουμε. Εντάξει αυτή είναι βέβαια στην Ευκλήδια Γεωμετρία αλλά αυτή είναι η δεύτερη παρατήρηση ότι πολλές από τις αποδείξεις βασίζονται στη διέστηση ή στο σχήμα. Και αυτό ήταν τελείως ξεκάθαρο όταν ανακαλύφθηκαν μη Ευκλήδιες Γεωμετρίες. Αυτό λοιπόν το πρόγραμμα που έβαλε ο Χίλβερ το αυτό που θέλησε και αυτό που το 1899 είχε κάνει την πρώτη μορφή είναι να την αξιωματοποιήσει πλήρως. Και έτσι αντί για τα πέντε αξιώματα και τις εννιά κοινές έννοιες έδωσε 21 αξιώματα. Και είναι τα αξιώματα που έχουν να κάνουν με αξιώματα σχέσεις, διάταξης, πότε είναι ίσα, συνέχεια, το αξιώμα των παρελίων το έθεσε ξεκάθαρα. Έτσι χρειάστηκε να αφήσει κάποιες έννοιες χωρίς να τις ορίσει όπως είναι το σημείο, η ευθεία. Έτσι καθόρισε όμως τις μεταξύ τους έννοιες. Στο 1902 όχι πολύ πιο. Μετά αποδείχθηκε ότι ένα από όλα αυτά τα 21 αξιώματα ήταν περητό. Αυτό όμως ενέπινευσε γενικά. Η επόμενη προσπάθεια, το πρόγραμμα του Χίλβερ, ήταν αυτό τα μεταμαθηματικά. Δηλαδή ήθελε να δείξει ότι τα μαθηματικά παράγονται από ένα σωστά διαλεγμένο με περασμένο σύνολο αξιωμάτων. Και ότι αν μένεις σε αυτά τα μαθηματικά είναι τέτοιο σύνολο αξιωμάτων ότι είναι συνεπές. Δεν θα βγάλεις ασυνέπιες μέσα σε αυτό το σύστημα. Ήθελε λοιπόν να βασίσει όλα τα μαθηματικά σε ένα σύνολο αξιωμάτων. Όπως η ευκλή διαγεωμετρία βασίστηκε σε εκείνα τα αξιώματα που είχε βγάλει. Την συνέχεια την ξέρετε και σε αυτό. Την έχετε ακούσει και σε αυτό. Και αυτό είναι αδύνατο. Αυτό είναι το θεώρημα της μη πληρότητας του Κέντελ. Που απέδειξε ότι δεν θα μπορέσεις ποτέ να αποδείξεις συνέπεια ή ασυνέπεια ενός συστήματος αξιωμάτων, το οποίο να παράγει τα μαθηματικά. Θα σταματήσω εδώ και την επόμενη φορά θα συνεχίσουμε με την εξέλιξη των μαθηματικών. Θα μιλήσουμε για τον Αρχημίδη. |
